TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI

TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI

Mari kita ingat kembali defenisi turunan parsial. Defenisi formal dari turunan parsial fungsi z= f(x,y) adalah :

Dengan  adalah turunan parsial terhadap x dan  adalah turunan parsial terhadap y. Notasi diatas  dapat disederhanakan menjadi :

Berdasarkan turunan parsial pertama fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n untuk n 2. Turunan parsial tersebut  dinamakan turunan parsial tingkat tinggi. Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat kedua, ketiga dan seterusnya.

Jadi, andaikan maka turunan parsial tingkat dua dari fungsi tersebut memiliki 4 kemungkinan. Notasi yang dapat disajikan entuk mengekspresikan 4 kemungkinan tersebut yaitu:

Turunan parsial tingkat dua adalah

Turunan parsial tingkat dua dan tiga sering disebut dengan turunan parsial campuran karena kita menurunkan lebih dari satu variabel. Kita harus memperhatikan notasi yang kita gunakan, untuk notasi turunan maka penurunan fungsi f bergerak dari kiri ke kanan. Maksud dari pernyataan tersebut adalah fungsi tersebut harus diturunkan terlebih dahulu terhadap variabel x kemudian diturunkan lagi terhadap variabel y. Sedangkan untuk notasi , kita bergerak dari kanan ke kiri yaitu dengan notasi artinya kita harus menurunkan fungsi f terhadap variabel x terlebih dahulu kemudian terhadap variabel y. Kita lihat contoh berikut:

Contoh 1:

Tentukanlah turunan tingkat kedua dari

Penyelesaian

Pertama kita tentukan turunan pertama yaitu:

Kemudian dapat kita tentukan 4 bentuk turunan keduanya yaitu:

Contoh 2:

1.	Tentukan  dan  dari fungsi Jawab ,diperoleh                                                                                                                              Sehingga                                                                                       Dan
2.	Tentukan  dan  dari fungsi  Jawab Dari,diperoleh                                                                                            Sehingga                                                                                       dan                                                Dengan cara yang sama dapat dicari

Dari hasil turunan orde dua di atas dapat kita lihat bahwa = . Hasil tersebut bukan suatu kebetulan. Fungsi tersebut merupakan kasus yang harus kita amati dengan baik. Teorema berikut akan menjelaskan kepada kita tentang kasus di atas.

Theorema Clairaut’s

Misalkan  f terdefinisi pada daerah asal D yang memuat titik (a,b). Jika fungsi dan kontinu di daerah D maka: (a,b) =  (a,b)

 

Contoh 3: Verifikasi Theorema Clairaut’s untuk

Penyelesaian

Diawali dengan menentukan 2 turunan tingkat pertama

Sekarang, menentukan dua turunan parsial campuran tingkat dua.

Ditunjukkan bahwa nilai keduanya sama.

Sejauh ini kita hanya melihat turunan order kedua. Tentu saja ada turunan yang lebih tinggi
lagi. Berikut adalah pasangan turunan parsial tingkat ketiga fungsi dua
Variabel.

Theorema Clairaut’s dapat dikembangkan juga untuk turunan parsial tingkat ketiga dan tingkat selanjutnya, contoh:

f_xxy = f_xyx = f_yxx

Theorema ini tidak hanya berlaku untuk fungsi varibel ganda, tetapi juga berlaku untuk fungsi 3 variabel dan seterusnya (multi variabel) dengan syarat fungsi turunannya kontinu. Jadi, secara umum jika fungsi turunan memenuhi syarat kontinuitas maka theorema Clairaut’s berlaku untuk fungsi multivariabel dan turunan tingkat tinggi, misalnya:

f_xxyyz = f_xyzxy

contoh 4:

Tentukanlah f_xxyzz dari f (x,y,z) = z³y² ln(x)

Penyelesaian:

Kita harus menurunkan fungsi tersebut dari kiri ke kanan. Kita selesaikan secara bertahap:

DIFFERENSIAL

Pada materi sebelumnya kita membahas tentang turunan fungsi satu variabel yang didefinisikan dengan:

Sehingga menjadi

Defenisi tersebut dapat kita manipulasi dengan sifat limit sehingga menjadi:

Sehingga kita simpulkan bahwa dy = ,

sedangkan dx =

Dengan d pada dy mewakili notasi differensial. Fungsi satu peubah y = f(x) dedefinisikan dengan dx sebagai peubah bebas artinya dx diberi nilai sebarang bilangan real, untuk

maka:

dy = f’(x) dx , dengan

∆y = Perubahan y dari kurva

dy = Perubahan y dari garis singgung

Mari kita ingat kembali grafik berikut

Sedangkan untuk fungsi dua peubah z = f (x,y), maka differensial dz atau df ditunjukkan dengan

Rumus tersebut didapat dari (Kaplan: hal 96)

Jika z = f(x,y) dan x = g(t), y = h(t), maka

Sehingga:

Atau (Kaplan: hal 97)

Untuk z = f (x,y) maka:

∆z = f (x+∆x, y+∆y) – f (x,y)

Sesuai dengan lemma (kaplan: hal 97), didapat:

Kemudian masing-masing ruas dikali dengan  :

Karena dan mendekati 0 maka:

Atau

Differensial untuk fungsi dengan tiga variabel dapat tunjukkan sebagai berikut (Dawkins). Diberikan

w = g (x,y,z), maka

Differensial untuk fungsi 4 variabel dapat ekspresikan sebagai berikut (kaplan):

Jika w = f (x, y,u,v), maka

Contoh 5:

Diberikan fungsi

  , tentukanlah dw!

Penyelesaian:

,