Matematika

September 30, 2017

Matematika

NAMA	:	DIAN HIDAYAT TANJUNG
KELAS	:	IV / C SORE
NMP	:	1202030310
JURUSAN	:	FKIP MAPTEMATIKA
M.KULIAH		BELAJAR PEMBELAJARAN MATEMATIKA

MODEL PEMBELAJARAN MATEMATIKA

JIGSAW (MODEL TIM AHLI)

(ARONSON, BLANEY, STEPHEN, SIKES, AND SNAPP, 1978)

LANGKAH MODEL PEMBELAJARAN :

1. Peserta didik dikelompokkan ke dalam ± 4 anggota tim

2. Tiap orang dalam tim diberi bagian materi yang berbeda

3. Tiap orang dalam tim diberi bagian materi yang ditugaskan

4. Anggota dari tim yang berbeda yang telah mempelajari bagian / sub bab yang sama, bertemu dalam kelompok baru ( Kelompok Ahli ), untuk mendiskusikan sub bab mereka.

5. Setelah selesai diskusi sebagai tim ahli, tiap anggota kembali ke kelompok asal dan bergantian menjelaskan kepada teman satu tim mereka tentang sub bab yang mereka kuasai dan tiap anggota lainnya mendengarkan dengan sungguh sungguh

6. Tim ahli mempresentasikan hasil diskusi

7. Guru memberi evaluasi

8. Penutup

IMPLEMENTASI MODEL PEMBELAJARAN :

1. Pendidik mengelompokkan peserta didiknya ke dalam beberapa kelompok.

Di dalam pembelajaran ,pendidik akan mengelompokkan peserta didiknya menjadi empat kelompok, yang setiap kelompok terdiri dari empat peserta didik. Untuk membagi kelompok tersebut, pendidik mengundi peserta didik untuk menentukan kelompoknya masing masing. Kemudian setiap anggota kelompok di beri nomor urut, 1 sampai 4

KELOMPOK I	KELOMPOK II	KELOMPOK III	KELOMPOK IV
1. EVAN DIMAS	1. TUKUL ARWANA	1. DENNI CAGUR	1. C.RONALDO
2. ILHAM UDIN	2. SULE	2. WENDI CAGUR	2. L.MESSI
3. MUCLIS HADI	3. PARTO	3. RAPI AHMAD	3. SUAREZ
4. MALDINI PALI	4. AZIS GAGAP	4. BILLY	4. NEYMAR

2. Kemudian, pendidik menentukan bagian dan ( materi / sub bab) kepada setiap anggota kelompok.

Setelah peserta didik membentuk kelompok sesuai dengan kelompok masing masing , pendidik menentukan bagian serta materi / sub bab sesuai dengan nomor urutan anggota kelompok.

Misalnya seperti tabel berikut:

NOMOR URUT	MATERI/ SUB BAB
1	Defenisi matriks dan pengoperasian matriks.
2	Jenis jenis matriks
3	Determinan matriks
4	Invers matrik

NOMOR URUT	KELOMPOK I	KELOMPOK II	KELOMPOK III	KELOMPOK IV
1	1. EVAN DIMAS	1. TUKUL ARWANA	1. DENNI CAGUR	1. C.RONALDO
2	2. ILHAM UDIN	2. SULE	2. WENDI CAGUR	2. L.MESSI
3	3. MUCLIS HADI	3. PARTO	3. RAPI AHMAD	3. SUAREZ
4	4. MALDINI PALI	4. AZIS GAGAP	4. BILLY	4. NEYMAR

3. Setelah itu, pendidik memberi materi yang ditugaskan kepada setiap kelompok sesuai bagiannya dan memberi waktu kepada peserta didik untuk mempelajarinya.

Dalam setiap kelompok, pendidik akan memberikan empat materi sesuai dengan tabel . Setelah memberi materi, pendidik memerintahkan kepada peserta didinya untuk mempelajari masing – masing dari materi yang diberikan selama sepuluh menit.

BAGIAN NO URUT I

1. Defenisi matriks dan pengoperasian matriks.

A. Defenisi matriks

Matriks adalah himpunan bilangan atau fungsi yang tersusun dalam baris dan kolom serta diapit oleh dua kurung siku.

Bilangan atau fungsi tersebut dinamakan entri atau elemen dari matriks.matriks dilambangkan dengan huruf besar , sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil, seperti contoh berikut ini.

A =

Dalam matriks di kenal ukuran matriks yang di sebut ordo, yaitu banyak baris x banyaknya kolom(tanda x bukan menyatakan perkalian, tetapi hanya sebagai pemisahan), seperti contoh berikut.

A =

Matriks A berordo 2 x 3, dengan entri a,b,c,d,e dan f

B. Pengoperasian matriks .

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

http://2.bp.blogspot.com/-N4Hek49VRdM/UFvQzTK3cvI/AAAAAAAABGA/cr1mmSNYy3s/s1600/penjumlahan+matriks.png

atau dalam representasi dekoratfinya

http://3.bp.blogspot.com/-sXo8hS9h4YA/UFvRIgWOPgI/AAAAAAAABGQ/zq_DpU0-tI4/s1600/penjumlahan+3.png

Perkalian Skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

$\lambda\cdot A := (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}$

Contoh perhitungan :

$5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -15 & 10 \\ 5 & 10 & 35 \end{pmatrix}$

Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

$c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}$

Contoh perhitungan :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 3 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) \\ 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 0 & 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 6 \cdot (-3) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ 39 & -12 \end{pmatrix}$

BAGIAN NO URUT II

2. Jenis jenis matriks

Jenis-jenis matriks dapat dibagi berdasarkan ordo dan elemen / unsur dari matriks tersebut.

Berdasarkan ordo Matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

Matriks Bujursangkar adalah matriks yang memiliki ordo n x n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom yang terdapat dalam mtriks tersebut. Matriks ini disebut juga dengan matriks persegi berordo n.

Contoh :

http://2.bp.blogspot.com/_o7okww-u4rc/TDkZp_ITFHI/AAAAAAAAAf8/d6Xnlc5buV8/s200/mbujursangkar.png

Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A = ( 2 1 3 -7 )

Matriks Kolom adalah Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.

Contoh :

http://3.bp.blogspot.com/_o7okww-u4rc/TDkcx4e821I/AAAAAAAAAgE/fLTN3o0q2a8/s320/kolom.jpg

Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

Contah :

http://4.bp.blogspot.com/_o7okww-u4rc/TDkgPaj7AbI/AAAAAAAAAgU/eJOJXh265bk/s320/tegak.jpg

Matriks datar adalah Matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

Contoh :

http://1.bp.blogspot.com/_o7okww-u4rc/TDkhsk9rwSI/AAAAAAAAAgc/IL6rgX0xNR4/s320/datar.jpg

Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo m x n, ditulis dengan huruf O.

contoh :

http://3.bp.blogspot.com/_o7okww-u4rc/TDvNWqpHbyI/AAAAAAAAAgk/qZVHRyRyIro/s320/NOl.jpg

Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

Contah :

http://4.bp.blogspot.com/_o7okww-u4rc/TDvPDZ5Zb2I/AAAAAAAAAgs/KCjrgBMot0g/s320/diagonal.jpg

Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .

Contoh :

http://3.bp.blogspot.com/_o7okww-u4rc/TDvSLR6MLUI/AAAAAAAAAg8/AoPwSQpHsbg/s320/segi.jpg

Dimana Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

Contoh :

http://1.bp.blogspot.com/_o7okww-u4rc/TDvVlVYW78I/AAAAAAAAAhE/Q6I_l4TxcKU/s320/skalar.jpg

Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.

Contoh :

http://4.bp.blogspot.com/_o7okww-u4rc/TD5HYaQWS1I/AAAAAAAAAhM/7yd_UO9g2PY/s320/identitas.jpg

Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .

BAGIAN URUT NO III

3. Determinan matriks

BAGIAN NO URUT IV

4. Invers matriks

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A ^{− 1} ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B ^{− 1}. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}$ dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
$A^{-1} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\ -\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\ \end{bmatrix}$
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{− 1}

Contoh 1:
Matriks

A = $\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$

AB = $\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ = I (matriks identitas)

BA = $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ = I (matriks identitas)

Maka dapat dituliskan bahwa B = A ^{− 1} (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2:
Matriks

A = $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$

AB = $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \\ \end{bmatrix}$

BA = $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 17 & 21 \\ 15 & 19 \\ \end{bmatrix}$

Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 3:
Matriks

A = $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Tentukan Nilai dari A^-1
Jawab:
$A^{-1} =\frac{1} {(3)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {6-5}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {1}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix}$

Contoh 4:
Matriks

A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ , B = $\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}$ , AB = $\begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 8 \\ \end{bmatrix}$

Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ , $B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3} {2} \\ \end{bmatrix}$ , $(AB)^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -\frac{9} {2} & 8 \\ \end{bmatrix}$

Maka

$B^{-1} A^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3} {2} \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -\frac{9} {2} & 8 \\ \end{bmatrix}$

Ini membuktikan bahwa (AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{– 1}

4. Kemudian, pendidik memerintahkan kepada peserta didiknya untuk membentuk kelompok baru.

Pendidik mengarahkan peserta didiknya untuk membentuk kelompok baru (kelompok ahli) sesuai dengan materi yang mereka miliki. Di mana setiap peserta didik membentuk kelompok ahli sesuai dengan nomor urut yang sama. Dan memberi waktu lima belas menit untuk mendiskusikan materi secara bersama dalam kelompok ahli

KELOMPOK AHLI
DEFENISI DAN PENGOPERASIAN MATRIKS	JENIS JENIS MATRIKS	DETERMINAN MATRIKS	INVERS MATRIKS
1. EVAN DIMAS	2. ILHAM UDIN	3. MUCLIS HADI	4. MALDINI PALI
1. TUKUL ARWANA	2. SULE	3. PARTO	4. AZIS GAGAP
1. DENNI CAGUR	2. WENDI CAGUR	3. RAPI AHMAD	4. BILLY
1. C.RONALDO	2. L.MESSI	3. SUAREZ	4. NEYMAR

6. Tim ahli mempresentasikan hasil diskusi

Pendidik, memerintahkan peserta didik untuk membentuk kembali kelompok ahli danmemberi kesempatan kepada kelompok ahli untuk mempresentasikan hasil diskusi mereka. (waktu 20 menit)

Hasil Diskusi Tim Ahli (1)

Aljabar Matriks

1. Kesamaan Matriks

Dua matriks

dan matriks

yang berukuran sama (memiliki jumlah baris dan kolom yang sama), dikatakan sama jika dan hanya jika

. Sebagai contoh,

,
jika dan hanya jika x = 2, y = -1, r = 0, s = 4, u = 8, dan v = 3.

2. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua buah matriks A dan B yang berukuran sama dapat dijumlahkan/dikurangkan untuk menghasilkan matriks C yang unsur-unsurnya merupakan hasil penjumlahan/pengurangan dari unsur matriks A dan B yang bersesuaian. Secara matematis, jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama, maka

dengan

3. Perkalian Matriks dengan Skalar

Perkalian matriks A dengan skalar k akan menghasilkan sebuah matriks baru B yang unsur-unsurnya diperoleh dengan mengalikan unsur-unsur matriks A dengan k. Jadi, B = kA.

4. Perkalian dua Matriks

Jika

sebuah matriks berukuran

dan

sebuah matriks berukuran

, maka perkalian matriks A dengan matriks B, yaitu C = AB, didefinisikan sebagai

dengan matriks C berukuran

Perkalian dua matriks dapat dilakukan jika dan hanya jika banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B.

Untuk

dan

, diperoleh

Berbeda dengan aljabar bilangan biasa, perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif. Akan tetapi, hukum asosiatif dan distributif tetap berlaku:

A(BC)= (AB)C, A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + AC.

Sebuah matriks A dapat dikalikan dengan dirinya sendiri jika dan hanya jika A adalah matriks bujur sangkar. Ungkapan AA biasanya ditulis

. Dengan cara yang sama,

, dan sebagainya.

5. Matriks Transpos

Untuk matriks A dapat dilakukan operasi transposisi, yaitu mengganti baris dengan kolomnya sehingga diperoleh matriks baru. Matriks baru sebagai hasil transposisi ini dinamakan transpose dari A dan dinyatakan dengan

Dengan demikian, jika

maka

Sebagai contoh, jika

maka

Sifat-sifat matriks transpos:

, dan

Untuk matriks kompleks, yaitu matriks yang unsur-unsurnya bilangan kompleks, terdapat operasi konjugat kompleks dan konjugat hermite.

Operasi konjugat kompleks pada matriks kompleks C yang dinyatakan dengan

akan menghasilkan matriks baru B yang elemen-elemennya adalah konjugat kompleks dari C. Jadi,

Matriks

dikenal sebagai matriks konjugat kompleks dari C.

Operasi konjugat hermite pada matriks kompleks C merupakan kombinasi dari operasi konjugat kompleks dan transposnya sehingga sehingga menghasilkan matriks baru B. Dengan demikian,

atau

. Elemen-elemen matriks B adalah

. Matriks B ini dikenal sebagai matriks konjugat hermite dari C.

Sebagai contoh, jika

maka

Hasil Diskusi Tim Ahli (2)

Matriks-matriks Khusus

Matriks bujur sangkar, matriks baris, dan matriks kolom biasanya dikelompokkan ke dalam matriks khusus. Ada beberapa matriks khusus yang lain, yaitu:

1) Matriks diagonal, yaitu matriks yang semua unsurnya nol kecuali unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama. Contoh,

Jumlah semua unsur diagonal utama sebuah matriks bujur sangkar dinamakan trace matriks yang bersangkutan.

2) Matriks segitiga, yaitu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya terletak di bawah atau di atas diagonal utama sama dengan nol. Jika unsur-unsur nol terletak di bawah diagonal utama, biasanya disebut matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika unsur-unsur nol terletak di atas diagonal utama disebut matriks segitiga bawah.

3) Matriks satuan, yaitu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya pada diagonal utama sama dengan 1, sedangkan unsur-unsur yang lain sama dengan nol. Matriks satuan biasanya diberi simbol I. Sebagai contoh,

4) Matriks nol, yaitu matriks yang unsur-unsurnya sama dengan nol dan biasanya diberi simbol O. Untuk matriks A yang ukurannya sama dengan O, berlaku

dan

5) Matriks simetri, yaitu matriks bujur sangkar yang memenuhi sifat

Jika

A disebut matriks taksimetri.

6) Matriks kofaktor, yaitu matriks yang didefinisikan sebagai

Jika

maka

, dengan

, dan seterusnya.

7) Matriks adjoint, yaitu matriks yang diperoleh dari transpose matriks kofaktor. Jadi,

Untuk

, dan

8) Jika

, matriks A dikatakan self-adjoint.

9) Jika

matriks A dikatakan involuntary.

10) Jika

, matriks A dinamakan matriks real.

11) Jika

matriks A dinamakan matriks orthogonal.

12) Jika

, matriks A dinamakan matriks hermite.

13) Jika

matriks A dinamakan matriks uniter.

14) Jika

matriks A dinamakan matriks imajiner murni.

Jika

matriks A dinamakan matriks idempotent (indepotent matrix).

Hasil Diskusi Tim Ahli (3)

Untuk setiap matriks bujur sangkar A terdapat nilai karakteristi yang dikenal sebagai determinan, biasa ditulis det (A) atau

. Determinan matriks A ditulis sebagai

Jika matriks A dengan det (A) = 0, A disebut matriks singular. Sebaliknya, jika det (A)

, A disebut matriks taksingular.

Minor

Jika baris ke-j dan kolom ke-k pada determinan yang disajikan di atas dihilangkan, kemudian dibentuk sebuah determinan dari unsur-unsurnya yang tertinggal, akan diperoleh determinan baru yang terdiri atas (n-1) baris dan (n-1) kolom. Determinan baru ini merupakan minor dari unsur

dan dinyatakan dengan ungkapan

. Sebagai contoh,

maka minor unsur

adalah

, yaitu

Jika minor dari

dikalikan dengan

hasilnya dinamakan kofaktor dari

dan dinyatakan dengan

. Jadi,

Untuk menentukan determinan matriks A dapat digunakan ekspansi Laplace yang menyatakan bahwa nilai determinan merupakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris (atau suatu kolom) dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian. Secara matematis,

, untuk sembarang j.

Sebagai contoh, kita akan menghitung

Untuk j =1, diperoleh

dengan

dan

. Jadi,

Sifat-sifat Determinan

1) Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan. Jadi,

2) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, determinan matriks itu sama dengan nol.

3) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur, determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.

4) Pertukaran dua baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda determinan.

5) Jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) dikalikan dengan sebuah bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.

6) Jika dua baris (atau kolom) sama atau sebanding, determinannya sama dengan nol.

7) Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau kolom) sebuah determinan merupakan jumlah dua suku, determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah dua determinan yang berukuran sama.

8) Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dengan sebuah bilangan kemudian dijumlahkan dengan unsur-unsur yang bersesuaian dengan suatu baris (atau kolom) yang lain, nilai determinannya tetap.

9) Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka

10) Jumlah dari hasil kali unsur-unsur dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dari baris (atau kolom) lainnya adalah nol. Secara matematis,

atau

, jika

Jika

, hasilnya sama dengan

Hasil Diskusi Tim Ahli (4)

Jika pada matriks bujur sangkar A terdapat matriks B sehingga AB = I, dengan I adalah matriks identitas, maka B dinamakan invers matriks A dan ditulis sebagai

Jadi, jika A adalah matriks bujur sangkar tak singular berorde-n, maka terdapat satu invers

sehingga

Invers matriks memiliki sifat,

dan

Untuk menentukan invers matriks dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: metode reduksi baris dan metode determinan.

Metode Reduksi Baris

Untuk memberi gambaran penerapan metode reduksi baris, diandaikan kita akan menghitung invers matriks A. Dengan mengingat sifat-sifat matriks satuan I, A = IA. Selanjutnya, dengan mereduksi A di ruas kiri menjadi I maka ruas kanan akan tereduksi menjadi B sehingga menghasilkan I = AB. Jadi, B adalah invers matriks A. Metode reduksi baris terdiri atas operasi-operasi berikut:

· menukarkan dua baris,

· mengalikan sembarang baris dengan sebuah tetapan

dan

· menjumlahkan atau mengurangkan dua baris sembarang.

Untuk memudahkan penulisan operasi reduksi baris, biasa digunakan notasi

dan

Notasi pertama menunjukkan baris-j dan baris-k dipertukarkan, sedangkan notas kedua artinya baris-j dikalikan dengan a kemudian dijumlahkan atau dikurangkan dengan b kali baris-k.

Metode Determinan

Sebuah matriks memiliki invers jika dan hanya jika

Invers matriks A dapat ditentukan dengan rumus

7. Guru memberi evaluasi

Setelah presentasi (tim ahli) selesai, pendidik memberi penjelasan mengenai materi – materi yang telah di tugaskan kepada peserta didiknya, serta memberi soal – soal latihan sebagai alat untuk mengetes sejauh mana pemahaman peserta didiknya mengenai materi yang telah ditugaskan. (waktu 15 menit)

1. Tentukan hasil dari setiap operasi matriks berikut :

2. Tentukan determinan dari suatu matriks berikut

3. Dari soal nomor 2, maka tentukanlah setiap invers dari matriks tersebut.

4. Tentukan hasil matriks berikut

+ 2

b. -4

8. Penutup

Pendidik memeriksa setiap jawaban peserta didiknya mengenai soal yang diberikan. Dan memberi tugas (PR), untuk menambah wawasan peserta didik mengenai materi Matriks, serta mengakhiri pembelajaran.

1. Tentukan determinan beserta invers matriks berikut